Доказательство четности функции y = 3x^2 + 4 — объяснение и примеры

Доказательство четности функции — это процесс анализа математической функции и определение, является ли она четной или нечетной. В рамках данной статьи мы разберем доказательство четности функции вида y = 3x^2 + 4 и предоставим соответствующие примеры.

Четность функции определяется симметрией ее графика относительно оси ординат. Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат, то есть для любого значения x, f(x) = f(-x). Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат, что означает, что для любого значения x, f(x) = -f(-x).

Давайте рассмотрим функцию y = 3x^2 + 4 и проверим ее четность. Для начала заметим, что в данной функции отсутствует слагаемое с аргументом x в нечетной степени, а значит, у функции может быть только четная или нулевая степень аргумента. Коэффициент перед x^2 равен 3, что означает, что функция является параболой с ветвями, направленными вверх.

Доказательство четности функции y = 3x^2 + 4

Заменим x на -x в выражении функции:

Упростим выражения:

Далее мы можем упростить (-x)^2, что приведет нас к следующему:

Мы видим, что f(x) = f(-x), что означает, что функция y = 3x^2 + 4 является четной.

Математическое объяснение

Чтобы доказать четность функции y = 3x^2 + 4, мы должны убедиться, что она удовлетворяет условию для четности функции.

Функция является четной, если она сохраняет свойство симметрии относительно оси ординат, то есть f(x) = f(-x) для любого значения x.

Заменим x на -x в исходной функции:

f(-x) = 3(-x)^2 + 4 = 3x^2 + 4

Мы видим, что полученное выражение равно исходной функции, что подтверждает свойство симметрии относительно оси ординат.

Таким образом, функция y = 3x^2 + 4 является четной.

Первый пример: x = -2

Для доказательства четности функции y = 3x^2 + 4, мы можем рассмотреть пример с отрицательным значением x, например x = -2.

Подставим x = -2 в уравнение и вычислим значение функции:

Мы видим, что значение функции при x = -2 равно 16.

Теперь рассмотрим значение функции при x = 2:

Мы видим, что значение функции при x = 2 также равно 16.

Таким образом, мы можем увидеть, что значение функции для отрицательного значения x (-2) равно значению функции для положительного значения x (2), что говорит о четности функции y = 3x^2 + 4.

Второй пример: x = 0

Предположим, что x = 0. Подставляя данное значение в выражение для y = 3x^2 + 4, получаем:

y = 3(0)^2 + 4

y = 3(0) + 4

y = 0 + 4

y = 4

Таким образом, при x = 0 значение y равно 4. Мы видим, что значение y является положительным, что подтверждает четность функции y = 3x^2 + 4. Это означает, что график функции симметричен относительно оси ординат.

Третий пример: x = 1

Рассмотрим третий пример значений функции y = 3x^2 + 4 при x = 1:

1. Подставляем значение x = 1 в выражение функции: y = 3 * (1)^2 + 4 = 3 * 1 + 4 = 3 + 4 = 7.
2. Получаем результат y = 7.

Таким образом, при x = 1 функция y = 3x^2 + 4 принимает значение y = 7. Следовательно, функция является четной, так как она принимает одинаковые значения для положительных и отрицательных значений аргумента.

Для доказательства того, что функция y = 3x^2 + 4 является четной, мы должны показать, что для любого значения x, значение функции y будет одинаковым для значений x и -x.

Используем свойство симметрии графика касательно оси y. Заменяем в функции x на -x:

y = 3(-x)^2 + 4

y = 3x^2 + 4

Мы видим, что значение выражения y = 3x^2 + 4 сохраняется при замене x на -x. Таким образом, функция y = 3x^2 + 4 является четной.

Например, если мы возьмем значения x = 2 и x = -2, то у нас будет:

Для x = 2: y = 3(2)^2 + 4 = 12 + 4 = 16

Для x = -2: y = 3(-2)^2 + 4 = 12 + 4 = 16

Оба значения дают нам y = 16. Это подтверждает четность функции y = 3x^2 + 4.