Доказательство кратности числа n и 3, 5n и 6

Одно из самых увлекательных заданий в алгебре – нахождение кратности числа. В этой статье мы рассмотрим доказательство кратности 6 числу n³ — 5n, где n – произвольное натуральное число.

Перед тем, как приступить к доказательству кратности, давайте напомним, что такое кратность. Кратность числа – это число, на которое данное число делится нацело. Например, кратность числа 9 равна 3, потому что 9 делится нацело на 3. Теперь перейдем к доказательству кратности числа n³ — 5n.

Наша задача – доказать, что число n³ — 5n делится нацело на 6 для любого натурального числа n. Давайте рассмотрим это доказательство:

Кратность числу n³ — 5n числу 6

Пусть утверждение верно для некоторого значения n: n³ — 5n кратно 6.

Докажем, что утверждение верно и для n + 1:

• Подставим вместо n значения n + 1: (n + 1)³ — 5(n + 1)
• Раскроем скобки: n³ + 3n² + 3n + 1 — 5n — 5
• Упростим выражение: n³ — 5n + 3n² — 2n — 4
• Заметим, что сумма 3n² — 2n — 4 делится на 6, так как каждое слагаемое делится на 6.
• Таким образом, получаем, что (n + 1)³ — 5(n + 1) — (3n² — 2n — 4) = n³ — 5n кратно 6.

Таким образом, по принципу математической индукции, доказывается, что n³ — 5n кратно 6 для всех натуральных значений n.

Доказательство на основе проверки четности

Для того чтобы число было кратным шести, необходимо и достаточно, чтобы оно было кратным двум и трём.

У нас есть два выражения: n³ и 5n. Проверим их на четность.

1. Если n – четное число, то и 5n будет четным.
2. Если n – нечетное число, то и 5n будет нечетным, так как умножение нечетного числа на любое число всегда даёт нечетный результат.

Теперь рассмотрим куб числа n.

1. Если n – четное число, то и его куб будет четным. Это следует из того, что четное число умножается само на себя нечетное количество раз, что всегда даёт четный результат.
2. Если n – нечетное число, то его куб также будет нечетным. Это происходит потому, что нечетное число умножается само на себя нечетное количество раз, что всегда даёт нечетный результат.

Таким образом, выражение n³ — 5n всегда будет кратным шести, так как оно является суммой чисел, которые всегда имеют один и тот же четностный характер.

Доказательство на основе делимости на 2 и 3

1. Покажем, что данное выражение делится на 2:

Если число делится на 2, то оно является четным. Рассмотрим выражение n³ — 5n при различных остатках n при делении на 2:

• При n = 0: (0³ — 5*0) % 2 = 0
• При n = 1: (1³ — 5*1) % 2 = -4 % 2 = 0
• При n = 2: (2³ — 5*2) % 2 = 0
• При n = 3: (3³ — 5*3) % 2 = 0

Из этих вычислений видно, что выражение делится на 2 при любых значениях n.

2. Теперь рассмотрим делимость данного выражения на 3:

Если число делится на 3, то сумма его цифр тоже делится на 3. Разложим выражение n³ — 5n на суммы цифр при различных значениях n:

• При n = 0: (0³ — 5*0) % 3 = 0
• При n = 1: (1³ — 5*1) % 3 = -4 % 3 = 2
• При n = 2: (2³ — 5*2) % 3 = 0
• При n = 3: (3³ — 5*3) % 3 = 0

Из этих вычислений видно, что выражение делится на 3 при n, равном 0 или 3.

Таким образом, по свойству делимости на 2 и 3 можно заключить, что если выражение n³ — 5n делится и на 2, и на 3, то оно будет делиться и на 6.

Доказательство с использованием разложения на множители

Итак, разложим многочлен n³ — 5n:

n³ — 5n = n(n² — 5)

Теперь мы должны проверить, содержится ли множитель 6 в разложении многочлена n(n² — 5). Чтобы это сделать, разложим множитель n² — 5:

n² — 5 = (n + √5)(n — √5)

Таким образом, разложение многочлена n(n² — 5) будет выглядеть следующим образом:

n(n² — 5) = n(n + √5)(n — √5)

Теперь мы можем увидеть, что в разложении многочлена n(n² — 5) содержится множитель 6, так как 6 = 2 * 3, и каждый из множителей n, n + √5 и n — √5 является целым числом.