diapazon-plus.ru
Параллелограмм — фигура, которая имеет две пары параллельных сторон. Это носит асимметричный характер. Внутри параллелограмма существует интересное свойство — вписанная окружность. Во время изучения геометрии вы, возможно, заметили, что круг вписывается в прямоугольник. Оказывается, что это свойство верно и для параллелограмма.
Доказательство этого факта довольно простое. Рассмотрим параллелограмм с вершинами A, B, C и D. Для начала, соединим точки A и C прямой линией. Затем проведем прямые через центр окружности, которая касается стороны AB в точке E и стороны BC в точке F. Теперь, докажем, что стороны AE и CF равны.
Для этого воспользуемся фактом, что касательная, проведенная к окружности, является перпендикуляром к радиусу. Таким образом, углы AEB и CFB равны 90 градусам. Кроме того, углы ABE и CBF равны между собой, потому что они совпадают с углами, образованными касательной и хордой на окружности.
Окружность, вписанная в параллелограмм
Одно из интересных свойств параллелограмма — это вписанная окружность. Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон параллелограмма внутренним образом. Другими словами, окружность касается сторон параллелограмма в единственной точке и лежит внутри фигуры.
Доказательство того, что параллелограмм является ромбом, может быть сделано с использованием вписанной окружности. Если окружность вписана в параллелограмм, то она делит все его углы на две равные части. В частности, это означает, что все углы параллелограмма равны между собой.
Другое свойство вписанной окружности в параллелограмме заключается в том, что диагонали параллелограмма делятся ей пополам. Это означает, что отрезки, соединяющие середины диагоналей параллелограмма, являются радиусами вписанной окружности и равны между собой.
Таким образом, вписанная окружность в параллелограмме является важным инструментом для доказательства того, что параллелограмм — это ромб.
- Свойства вписанной окружности в параллелограмме:
- Она касается всех сторон параллелограмма внутренним образом.
- Делит все углы параллелограмма на две равные части.
- Диагонали параллелограмма делятся ей пополам.
Центр окружности и его свойства
Свойство 1: Линии, соединяющие вершины параллелограмма с центром вписанной окружности, делят их пополам и перпендикулярны.
Данное свойство означает, что отрезки, соединяющие вершины параллелограмма с центром окружности, равны по длине и перпендикулярны друг к другу.
Свойство 2: Центр вписанной окружности делиает диагонали параллелограмма пополам.
Это свойство означает, что линии, соединяющие центр окружности с серединами диагоналей параллелограмма, делят диагонали на две равные части.
Свойство 3: Центр окружности является центром симметрии параллелограмма.
Это свойство означает, что если мы проведем линии, соединяющие вершины параллелограмма с центром окружности, то они будут одинаковые и симметричные относительно центра окружности.
Из этих свойств следует, что вписанная окружность является окружностью внутренней симметрии параллелограмма.
Свойства хорды, касающейся окружности
Свойство 1: Если хорда проходит через центр окружности, то она является диаметром окружности. Диаметр является самой длинной хордой окружности и делит ее на две равные полуокружности.
Свойство 2: Хорда, касающаяся окружности, перпендикулярна радиусу, проведенному из точки касания. Это означает, что хорда и радиус, проведенные из точки касания, образуют прямой угол.
Свойство 3: Если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведения отрезков каждой хорды равны между собой. То есть, если AB и CD — пересекающиеся хорды, то AB × BC = CB × CD.
Свойство 4: Если хорда и радиус окружности перпендикулярны друг другу, то хорда делит радиус пополам. То есть, если AB — хорда и OC — радиус, проведенный из центра окружности O, при условии, что AB и OC перпендикулярны, то AC = BC = 1/2 × AB.
Перпендикуляры к сторонам параллелограмма
В параллелограмме каждая сторона параллельна противоположной. Это свойство позволяет нам построить перпендикуляры к сторонам параллелограмма, которые пересекаются в центре.
Для построения перпендикуляров к сторонам параллелограмма, мы используем свойство прямоугольных треугольников. По теореме Пифагора знаем, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Если применить это свойство к прямоугольным треугольникам, образованным перпендикулярами и сторонами параллелограмма, то получим, что квадраты длин перпендикуляров равны сумме квадратов длин двух сторон параллелограмма.
Таким образом, все перпендикуляры, проведенные к сторонам параллелограмма, равны между собой и пересекаются в центре параллелограмма. Это значит, что центром параллелограмма является точка пересечения всех перпендикуляров, построенных к его сторонам.
Такое свойство позволяет нам доказать, что в скрещенных углах параллелограмма сумма углов равна 180 градусам. Если построить продолжения сторон параллелограмма и провести перпендикуляры из углов в точку пересечения продолжений, то получим две пары вертикально-противоположных углов, сумма которых равна 180 градусам.
Перпендикуляры к сторонам параллелограмма являются важным геометрическим свойством, которое помогает в доказательстве различных теорем и связей в математике.
Равенство диагоналей разностороннего параллелограмма
Диагонали разностороннего параллелограмма равны между собой.
Пусть ABCD — разносторонний параллелограмм, AC и BD — его диагонали. Нам нужно доказать, что AC = BD.
Возьмем точку E на отрезке AC так, чтобы AE = AB. Так как AB