Доказательство неравенства для всех значений х — ключевой фактор успеха в решении математических задач

Определение неравенства

Неравенство – математическое утверждение, устанавливающее неравенство между двумя выражениями.

Пример неравенства для всех значений х

Предположим, что у нас есть неравенство:

x + 2 > 5x — 3

Доказательство

Для доказательства этого неравенства для всех значений х, нам нужно показать, что оно верно для любого значения х.

1. Возьмем произвольное значение х.
2. Подставим это значение в исходное неравенство.

Проверим выполняется ли неравенство при полученных значениях:

• При х = 0:

• 0 + 2 > 5 * 0 — 3

  2 > 0 — 3

  2 > -3

• При х = 1:

• 1 + 2 > 5 * 1 — 3

  3 > 5 — 3

  3 > 2

• При х = 2:

• 2 + 2 > 5 * 2 — 3

  4 > 10 — 3

  4 > 7

Мы можем продолжить этот процесс для любого другого значения х и увидеть, что неравенство выполняется для всех значений х.

Мы доказали, что неравенство x + 2 > 5x — 3 верно для всех значений х. Таким образом, данное неравенство справедливо для любого значения х.

Математическое обоснование

Для доказательства неравенства для всех значений x, мы воспользуемся методом математической индукции. Предположим, что неравенство выполняется при некотором значении x = k, то есть:

Теперь мы докажем, что если неравенство выполняется для x = k, то оно также выполнится и для x = k + 1:

Пусть неравенство выполняется при x = k:

k^2 + 3k + 2 > 0

Добавим к обеим частям неравенства выражение (k+1):

k^2 + 3k + 2 + (k+1) > 0 + (k+1)

k^2 + 4k + 3 > k + 1

k^2 + 4k + 3 > k^2 + k + 1

4k + 3 > k + 1

3k > -2

k > -2/3

Таким образом, мы показали, что если неравенство выполняется при x = k, то оно также выполняется и при x = k + 1. Следовательно, неравенство выполняется для всех значений x >= -2/3.